درسنامه آموزشی فصل دوم هندسه (1) کلاس دهم ریاضی
درس 2: قضیۀ تالس
در شکل زیر خط $DE$ موازی ضلع $BC$ رسم شده است. مثلثهای $DAE$ و $DEC$ در رأس $D$ مشترکاند. قاعدههای مقابل به این رأس کداماند؟ با توجه به نتیجهٔ 2 از درس اول، تناسبهای زیر را کامل کنید:
$\frac{{AD}}{{DB}}$$\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{DBE}}}} = $ , $\frac{{AE}}{{EC}}$$\frac{{{S_{DAE}}}}{{{S_{DEC}}}} = $
مثلثهای $DBE$ و $DEC$ هم مساحتاند (چرا؟) با توجه به این موضوع از تساویهای بالا تناسب زیر را نتیجهگیری کنید:
$\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AD}}{{DB}}$
بنابراین قضیه زیر را اثبات کردیم:
قضیۀ تالس: هرگاه در یک مثلث، خطی موازی یکی از اضلاع، دو ضلع دیگر مثلث را در دو نقطه قطع کند، روی آن دو ضلع، چهار پاره خط جدا میکند که اندازههای آنها تشکیل یک تناسب را میدهند. به طور خلاصه هرگاه مانند شکل زیر داشته باشیم $DE||BC$، آنگاه:
$\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}$
کار در کلاس (صفحه 34 تا 35 کتاب درسی)
1- در شکل زیر $DE||BC$ و $AD = 1$ و $DB = 3$ و $AE = 0/8$. به کمک قضیهٔ تالس طول $AC$ را بهدست آورید.
$\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} \Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{{0/8}}{x} \Rightarrow x = \frac{{4 \times 0/8}}{1} = 3/2$
2- در شکل زیر $MN||BC$؛ به کمک قضیهٔ تالس و با تشکیل یک معادله، مقدار $x$ را بهدست آورید.
$\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}} \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{{2x - 0/5}}{{4/5}}$
$ \Rightarrow 4/5x = 6x - 1/5 \Rightarrow - 1/5x = - 1/5 \Rightarrow x = 1$
3- در شکل زیر $DE||BC$؛ تناسب قضیهٔ تالس را بنویسید و به کمک ترکیب نسبت در مخرج، رابطهٔ $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}$ و با تفضیل نسبت در صورت از این تناسب، رابطهٔ $\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{AC}}$ را نتیجه بگیرید. این رابطهها صورتهای دیگر قضیه تالس هستند.
ترکیب در مخرج $\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}} \Rightarrow \frac{{AD}}{{AD + DB}} = \frac{{AE}}{{AE + EC}} \Rightarrow \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}$ (1
تفضیل در صورت $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{AB - AD}}{{AB}} = \frac{{AC - AE}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{BD}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{AC}}$ (2
فعالیت (صفحه 35 کتاب درسی)
در شکل زیر $DE||BC$، از نقطهٔ $E$، پارهخط $EF$ را موازی $AB$ رسم کردهایم. چهارضلعی $DEFB$ چه نوع چهارضلعی است؟ چرا؟
این چهارضلعی متوازیالاضلاع است چون ضلعها دوبهدو موازی هستند. برای برابری ضلعها کافی است ثابت کنیم دو مثلث $DEF$ و $DBF$ با هم همنهشت هستند:
$\left. \begin{gathered}
BD||EF\,\,\,\,DF \Rightarrow {D_2} = F2 \hfill \\
DE||BF\,\,\,DF \Rightarrow {D_1} = {F_1} \hfill \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,DF = DF \hfill \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,DB = EF \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow D\mathop B\limits^\vartriangle F \cong D\mathop F\limits^\vartriangle E$
در نتیجه، $BFED$ متوازیالاضلاع است.
با توجه به این موضوع داریم: $EF$$DB = $ و $BF$$DE = $
در مثلث $ABC$ و با درنظر گرفتن $DE||BC$، قضیهٔ تالس را بنویسید.
$\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (1)$
در مثلث $CAB$ با توجه $EF||AB$ قضیهٔ تالس را بنویسید.
$(2)$ $\frac{{AE}}{{AC}}$$\frac{{BF}}{{BC}} = $
با توجه به روابط (1) و (2) و جایگذاری $DE$ بهجای $BF$ خواهیم داشت:
$\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}$
تعمیم قضیۀ تالس: اگر خطی دو ضلع مثلثی را در دو نقطه قطع کند و با ضلع سوم آن موازی باشد، مثلثی پدید میآید که اندازۀ ضلعهای آن با اندازۀ ضلعهای مثلث اصلی متناسباند؛ مثلا در شکل زیر داریم:
$\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}$
کار در کلاس (صفحه 35 کتاب درسی)
در شکل مقابل، با فرض $MN||BC$، طبق قضیهٔ تالس داریم: $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}$ حال عکس قضیهٔ تالس را به زبان ریاضی بنویسید.
$\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB - AM}} = \frac{{AN}}{{AC - AN}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AN}}{{NC}} \Rightarrow MN||BC$
اثبات با برهان خلف است. در شکل میدانیم:
$\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}$، فرض کنیم بر خلاف حکم $MN\cancel{{||}}BC$، پس از نقطهٔ $M$ پارهخط $MN'$ را موازی $BC$ رسم میکنیم. حال با توجه به قضیهٔ تالس داریم:
$\frac{{AM}}{{AB}}$$MN'||BC \Rightarrow \frac{{AN'}}{{AC}} = $
از مقایسهٔ این تناسب، با فرض مسئله نتیجه میشود $\frac{{.....}}{{.....}} = \frac{{.....}}{{.....}}$ و در نتیجه: $AN' = AN$ و بنابراین $N$ بر $N'$ منطبق است و $MN$ همان $MN'$ است که موازی $BC$ است.
مثال: در شکل زیر $MN||BC$ است، مقادیر $x$ و $y$ را بهدست آورید.
حل: با توجه به قضیه تالس و تعمیم آن داریم:
$\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}} \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{{x - 0/5}}{{3/25}} \Rightarrow $
$2/25x = 3x - 1/5 \Rightarrow 0/75x = 1/5 \Rightarrow x = 2$
$\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{MN}}{{BC}} \Rightarrow \frac{2}{5} = \frac{y}{{4/5}} \Rightarrow y = 1/8$
تمرین (صفحه 36 تا 37 کتاب درسی)
1- در شکل زیر پارهخط $MN$ موازی با $BC$ رسم شده است. درستی و نادرستی هر عبارت را مشخص کنید:
$\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{MN}}{{BC}}$ (الف
$\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}$ (ب
$\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}$ (پ
$\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{MN}}{{BC}}$ (ت
$\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NC}}{{CA}} = \frac{{MN}}{{BC}}$ (ث
$\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}$ (ج
$\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}$ (چ
$\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{MN}}{{BC}}$ (ح
2- در شکل زیر $DE||BC$؛ باتوجه به اندازه پارهخطها، طولهای $DE$ و $AB$ را بهدست آورید.
$\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}} \Rightarrow \frac{2}{{AB}} = \frac{1}{{1/5}} = \frac{{DE}}{4}$
$\left\{ \begin{gathered}
\frac{2}{{AB}} = \frac{1}{{1/5}} \Rightarrow AB = 2 \times 1/5 = 3 \hfill \\
\frac{1}{{1/5}} = \frac{{DE}}{4} \Rightarrow DE = \frac{{4 \times 1}}{{1/5}} = \frac{8}{3} \hfill \\
\end{gathered} \right.$
3- در شکل زیر $MN||BC$؛ مقادیر $x$ و $y$ را بهدست آورید.
$\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow \frac{x}{{x + 4}} = \frac{9}{{9 + x}} \Rightarrow $
$9x + {x^2} = 9x + 36 \Rightarrow x = 6$
$\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{MN}}{{BC}} \Rightarrow \frac{6}{{10}} = \frac{{2y - 1}}{8} \Rightarrow $
$10y - 5 = 24 \Rightarrow 10y = 24 - 5 \Rightarrow y = \frac{{19}}{{10}} = 1/9$
4- در شکل زیر میدانیم $AB||A'B'$ و $BC||B'C'$ با استفاده از قضیهٔ تالس و عکس آن ثابت کنید: $AC||A'C'$
در دو مثلث $O\mathop A\limits^\vartriangle B$ و $O\mathop {A'}\limits^\vartriangle B'$ داریم: (1) $\frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OB}}{{OB'}}$
همچنین در دو مثلث $O\mathop B\limits^\vartriangle C$ و $O\mathop {B'}\limits^\vartriangle C'$ داریم: (2) $\frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{{OB}}{{OB'}}$
از رابطههای (1) و (2) نتیجه میگیریم $\frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OC}}{{OC'}}$، حالا طبق عکس قضیهٔ تالس در مثلث $OA'C'$ داریم: $AC||A'C'$
5- در شکل زیر میدانیم $BC||DE$ و $BE||DF$، به کمک قضیهٔ تالس در مثلثهای $ADE$ و $ADF$ و مقایسهٔ تناسبها با یکدیگر، ثابت کنید: $A{E^2} = AC.AF$ (به عبارت دیگر $AE$ واسطه هندسی بین $AC$ و $AF$ است)
در مثلث $AED$ میدانیم $BC$ با $ED$ موازی است، طبق قضیهٔ تالس داریم:
$\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AE}}\,\,(1)$
در مثلث $ADF$ میدانیم $BE$ با $DF$ موازی است. طبق قضیهٔ تالس داریم:
$\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AF}}\,\,(2)$
$(1),(2) \Rightarrow \frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{AE}}{{AF}} \Rightarrow A{E^2} = AC.AF$
6- یکی از کاربردهای قضیهٔ تالس از زمانهای دور تاکنون، محاسبهٔ فاصلههای غیرقابل دسترس بوده است؛ به عنوان مثال برای تعیین یک ارتفاع بلند مانند ارتفاع یک درخت بلند در زمانی معین، طول سایهٔ درخت را روی زمین اندازه میگیریم؛ سپس یک قطعه چوب کوتاه را که به آن شاخص میگویند، طوری بهصورت عمودی جابهجا میکنیم که سایهٔ آن روی امتداد سایهٔ درخت قرار گیرد و نوک سایهٔ شاخص نیز بر نوک سایهٔ درخت منطبق شود؛ بهطور مثال اگر طول سایهٔ درخت 60 متر، طول سایهٔ شاخص 3 متر و طول شاخص 1 متر باشد، بلندی درخت چند متر است؟
ابتدا نقاط را نامگذاری میکنیم. با بهکار بردن قضیهٔ تالس میتوانیم طول درخت را بیابیم. طبق فرض داریم:
با توجه به قضیهٔ تالس از رابطهٔ زیر استفاده میکنیم:
$\begin{array}{*{20}{c}}
{DP = 60} \\
{PC = 3} \\
{BC = 1} \\
{DE = ?}
\end{array}$
$\frac{{PC}}{{DP}} = \frac{{BC}}{{DE}} \Rightarrow \frac{3}{{60}} = \frac{1}{{DE}} \Rightarrow DE = \frac{{1 \times 60}}{3} \Rightarrow DE = 20$
7- در ذوزنقه زیر $MN||AB||CD$، ثابت کنید:
$\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{BN}}{{NC}}$ (قضیه تالس در ذوزنقه)
(راهنمایی: یکی از قطرها را رسم کنید.)
ابتدا قطر $AC$ را رسم میکنیم. در مثلث $A\mathop D\limits^\vartriangle C$ داریم: $(MO||DC)$ (1) $\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{AO}}{{OC}}$
در مثلث $CBA$ داریم: $(ON||AB)$ (2) $\frac{{BN}}{{NC}} = \frac{{OA}}{{OC}}$
از (1) و (2) داریم: $\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{BN}}{{NC}}$
8- ابعاد یک زمین استاندارد والیبال 9 متر در 18 متر است که توسط خط میانی به دو مربع $9 \times 9$ تفکیک میشود و تور والیبال مردان با ارتفاع 2/43 متر روی خط وسط نصب شده است. یک بازیکن با قد 180 سانتیمتر و در فاصلهٔ دو متری تور، به هوا میپرد و توپی را که در ارتفاع 30 سانتیمتری بالای سرش است با ضربه آبشار مماس بر تور وسط روانه زمین حریف میکند و توپ روی خط انتهای زمین حریف مینشیند. این بازیکن برای ضربهزدن چقدر به هوا پریده است؟
$\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{CE}} \Rightarrow \frac{9}{{11}} = \frac{{2/43}}{{CE}} \Rightarrow CF = \frac{{11 \times 2/43}}{9} = 2/97$
$CE$ حاصل جمع میزان پرش + قد بازیکن و فاصله توپ بازیکن است.
یعنی داریم:
میزان پرش بازیکن: $2/97 = x + 1/8 + 0/3 \Rightarrow x = 0/87$